План
1. Введение
2. История золотого сечения в науке
3. Алгебра музыки
4. Золотое сечение в архитектуре
а) Парфенон
б) Египетские пирамиды
5. “Музыка небесных сфер”
6. Основные теоремы, связанные с золотой пропорцией
a) деление отрезка в крайнем и среднем отношении
б) золотой прямоугольник
в) золотой треугольник
г) золотое сечение и логарифмическая спираль
7. Заключение
8. Список литературы
9. Приложение 1
Архитектурные сооружения, использующие золотую пропорцию
10. Приложение 2
Чертежи описанных в реферате фигур
11. Приложение 3
Животные, имеющие раковину в форме логарифмической спирали
Введение
Красота! Казалось бы, это понятие, лишённое практической ценности, материальности, очевидной полезности, не играющее существенной роли, в жизни людей является в жизни людей чем-то второстепенным, маловажным. Но почему же с давних времён не прекращаются исследования этого непознанного чуда, почему человек издавна стремился окружить себя красивыми вещами? Посмотрите на предметы обихода жителя древности. Уже тогда создатели этих предметов преследовали не только чисто утилитарные цели – служить хранилищем воды, оружием в охоте, но и одновременно стремились придать этим предметам красивые формы, украсить их рисунком, покрыть краской. Некоторые предметы быта постепенно утратили своё утилитарное назначение и превратились только в украшения.
Но человек не только создавал красивые предметы, он всё чаще задавался вопросом: почему этот предмет красив, он нравится, а другой очень похожий, не нравится, его нельзя назвать красивым? Тогда из творца прекрасного человек превращается в его исследователя. Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного, сформировалось в самостоятельную ветвь науки – эстетику, которая у античных философов была неотделима от космологии. Здесь же родилось представление о том, основой прекрасного является гармония. Изучение прекрасного стало частью изучения гармонии природы, её основных законов организации. В воззрениях пифагорейцев впервые стали трактовать гармонию как единство противоположностей. Они же пришли к выводу о необходимости числового выражения гармонического соотношения частей в целом, число у пифагорейцев выступает в качестве универсального ключа к объяснению мира.
«Формул красоты» известно уже немало. Уже давно в своих творениях люди предпочитают правильные геометрические формы – круг, квадрат, равнобедренный треугольник и т. д. Симметричные
фигуры предпочтительнее, чем несимметричные. В пропорциях различных сооружений предпочтительны целочисленные соотношения. Человек вообще предпочитает порядок – беспорядку, простоту – сложности, определённость – неопределённости.
Из многих пропорций, которыми издавна пользуется человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Она отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Это – золотая пропорция.
Искусство в человеческой культуре играет одну из важнейших ролей – мы были бы дикарями, если бы у нас не было живописи, музыки, архитектуры… Меня заинтересовало, почему человек считает те или иные предметы, произведения искусства прекрасными, что именно человек считает мерой красоты и совершенства?
Мы считаем наш мир прекрасным – но случайно ли он именно таков, каков он есть? Быть может, неведомые законы мироздания, делающие мир прекрасным, перенеслись и в искусство?
В своей работе я постарался найти ответы на все эти вопросы.
История золотого сечения в науке
Сейчас невозможно установить ни человека, впервые открывшего золотую пропорцию, ни время, когда это произошло. Скорее всего, её неоднократно открывали, забывали и открывали заново в разное время и в различных странах. Многие исследователи считают первооткрывателем золотой пропорции греческого учёного Пифагора.
Рассмотрим простейший прямоугольный треугольник со сторонами 1 и 2. В этом треугольнике, по теореме Пифагора, гипотенуза равна √5. Этот треугольник был хорошо известен в древнем мире, во многих сооружениях того периода преобладают пропорции, равные отношениям катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника со сторонами 1:2:√5. Соотношения сторон этого треугольника очень простые, однако, из этих величин следует и ещё одно отношение: если катет а=1, катет b=2, гипотенуза с=√5, то: (а+с)/b=(1+√5)/2=1,618033.… Это и есть золотая пропорция, которую обычно обозначают буквой Ф.
Конечно, в действительности последовательность рассуждений Пифагора, приведшая к открытию золотой пропорции, была иной. Легче прийти к соотношению сторон треугольника было исходя из рассмотрения треугольника со сторонами 3:4:5, который был известен с давних времён и назывался «совершенным», «священным египетским», «треугольником Плутарха», и другими названиями.
По существу, отношение сторон этого треугольника и было тем отношением, благодаря которому Пифагор создал теорему, названную впоследствии его именем.
Нетрудно доказать, что существует только один прямоугольный треугольник, стороны которого (x, y, z) образуют геометрическую прогрессию: z/y=y/x. В этом треугольнике отношение гипотенузы к маленькому катету равно золотой пропорции Ф, а два других отношения сторон отвечают корню квадратному из золотой пропорции. Это –
удивительный золотой треугольник, он является ярким выражением золотой пропорции.
Интересен ещё один треугольник, в котором проявляется золотая пропорция. В этом треугольнике углы равны 90, 54 и 36 градусов, а их отношение составляет 5/3/2. В этом прямоугольном треугольнике отношение большего катета к гипотенузе равно половине коэффициента золотой пропорции: Ф/2. Это отношение отвечает равенству Ф/2=cos 36° .
Отсюда вытекает формула, связывающая золотую пропорцию с числом π:
Ф=(√5 +1)/2=2cos (π/5)
Алгебра музыки
Давно уже учёные задавались вопросом: почему в музыкальной октаве семь основных звуков – столько же, сколько цветов в спектре солнечного света. Ещё ничего не зная о природе звуков, человек интуитивно подстраивал струны так, чтобы они создавали благозвучие. Пифагору принадлежит математическое объяснение основ гармонии; по его определению, наиболее естественно воспринимаются человеком частоты, которые находятся между собой в наиболее простых числовых отношениях. Вот откуда соотношение частот в октаве ½, и благозвучное трезвучие с соотношением частот 4:5:6. Уменьшая последовательно длины струн, мы получим природный звукоряд из 16 звуков, но почему же древние музыканты приняли звукоряд, состоящий из семи основных звуков, и лишь позже добавили ещё пять дополнительных.
По свидетельству историков, древнейшая греческая арфа имела лишь четыре струны. Первая струна – основа, а у второй струны число колебаний относится к числу колебаний первой струны как 4:3, как и у катетов священного египетского треугольника. Это кварта основного тона. Число колебаний третьей струны по отношению к основному тону равно 3:2, это – квинта основного тона. Четвёртая струна – октава, число колебаний у неё в два раза больше, чем у основы.
Значительно позже появилась семиструнная греческая гамма, являющаяся развитием музыкального четырёхструнного строя. В семиструнной гамме отношение частот рядом расположенных звуков равно 1,12. Но очень близкое соотношение имеют стороны треугольника 1:2:√5, оно равно √5/2 = 1,118.
Изучая 20 загадочных отшлифованных базальтовых камней, найденных в восточном индийском штате Орисса, немецкий археолог Пауль Юле пришёл к выводу, что это не что иное, как самый древний музыкальный инструмент. По мнению ученого, эти камни являются остатками древнего ударного инструмента, похожего на ксилофон. Эти
камни, по-видимому, были уложены горизонтально в деревянном корпусе. Когда звуки, издаваемые камнями при ударе, записали и измерили их частоту, пришли к выводу, что звукоряд ксилофона охватывал четыре октавы с семью целыми тонами от “до” до “си” и пятью полутонами. Следовательно, изобретатели этого древнейшего музыкального инструмента, созданного не раньше, чем за две тысячи лет до нашей эры, уже пользовались октавой, состоящей из семи основных звуков, за пятнадцать веков до Пифагора!
Анализ гармонии в музыке не исчерпывается установлением закономерностей звучания в гамме, изучением природы благозвучных аккордов. Более 30 лет отдал изучению гармонии в музыке и природе композитор М. Марутаев. Он разработал концепцию универсальной гармонии, определяющим элементом которой является выявление единых числовых характеристик – общих как для природы, так и для музыки. М. Марутаев ввёл понятие о нарушенной симметрии и получил “основные числа нарушенной симметрии”: 0,71; 0,718; 0,729; и т. Д. до 0,992. Мерой нарушения симметрии композитор считает величину 25/11, равную 1,37035…, которая, по его мнению, выражает сущность гармонии. Он выявил, что в большинстве музыкальных произведений соотношение композиционных частей отвечают числам нарушенной симметрии, а в большинстве лучших произведений мировой музыки используется композиция, разбитая на части по 8 тактов – 4 тактов нарастания напряжения, такт кульминации и 3 такта спада.
“Музыка небесных сфер”
Возможно, что первым объектом, в котором человек стремился открыть законы бытия, законы гармонии, был небосклон. Не случайно издавна космос противопоставлялся хаосу, так же, как порядок – беспорядку.
Здесь помещалось Солнце – источник света, источник жизни, а ночью появлялась, изменялась в размерах и исчезала Луна; мерцали бесконечно далёкие, неизменные и вечные звёзды. Прикоснуться к их тайне – значит, прикоснуться к тайне Вселенной, к тайне всего сущего, прикоснуться к вечности. Ведь, по представлениям многих древних народов, звёзды представлялись вечными и неизменными. Человек рождался, жил и умирал – а звёзды всё так же бесстрастно сияли в чёрной бездне неба.
Позже установили, что некоторые из них движутся, открыли планеты. Кстати, само слово “планета” в переводе с греческого означает “звезда”.
Уже давно человечество пыталось найти законы расположения планет Солнечной системы. Такую попытку предприняли и пифагорейцы, считавшие, что Земля имеет форму шара и расположена в центре вселенной. Вокруг неё располагаются сферы с планетами, последней является сфера звёзд. Пифагорейцы считали, что расстояния между сферами соответствуют музыкальным интервалам: от Земли до Луны – один тон, от Луны до Меркурия – полутон, от Венеры до Солнца – полтора тона, и далее: тон – полутон – тон – до сферы неподвижных звёзд, отстоящей от Земли на октаву. Получалась полная аналогия музыкальной октавы. Предполагалось, что при вращении каждая сфера издаёт музыкальный тон, а вся система сфер образует гармонию – “музыку сфер”.
Возможно, что идея всеобщей гармонии во Вселенной, выраженная образно пифагорейской “музыкой сфер”, побудила И. Кеплера искать
закономерности в движении планет Солнечной системы. Он сопоставил периоды обращения планет с их расстоянием от Солнца (в относительных единицах). Для периодов обращения Меркурия, Венеры, Земли, Марса, Юпитера и Сатурна получился ряд чисел: 0,24; 0,615; 1,00; 1,88; 11,86; 29,457. Расстояния этих планет от Солнца выражалось рядом чисел: 0,387; 0,723; 1,00; 1,524; 5,203; 9,539. Возведя числа первого ряда в квадрат, а другого – в куб, он получил два практически одинаковых ряда чисел.
Законы Кеплера объединили все планеты в стройную единую систему, где движение каждой планеты подчинено строгим математическим законам. Но они не объясняли индивидуального различия планет, например, их масс, периодов вращения, расстояний от Солнца.
В наше время не прекращаются попытка найти общие закономерности в расположении планет Солнечной системы, периодах их вращения. Астроном Чистяков, например, вычислил натуральные логарифмы наибольших расстояний планет от Солнца. Полученные величины очень точно легли на прямую линию. Неужели открыта ещё одна закономерность в расположении планет Солнечной системы? Возможно. Установленная Чистяковым закономерность опубликована в № 17 бюллетеня астрономического общества за 1956 год. И в этом же номере журнала помещена статья К. Домбровского, посвящённая планетным расстояниям. По его мнению, Солнце и планеты можно рассматривать как некоторую колебательную систему, которая будет находиться в устойчивом состоянии неограниченно долгое время только в том случае, если периоды и амплитуда колебаний будут относиться как иррациональные числа.
В соответствии с выводами К. Домбровского, расстояния планет до Солнца должны быть пропорциональны ряду чисел золотой пропорции (√5+1)/2; 0,38; 0,62; 1,00; 1,62, … . Сравнение радиусов орбит планет с расчётными величинами пропорции 1,618 показало наличие определённого соответствия.
Аналогичные закономерности были установлены К. Домбровским при изучении расположения спутников Марса, Юпитера, Урана, Нептуна. Во всех системах расположение небесных тел на орбитах подчиняется степенной зависимости со знаменателем, равным золотой пропорции. Средняя ошибка, определяемая отношением расчётных и фактических радиусов, оказалась менее 2%. Очень неплохое соответствие расчётов фактическим данным.
К. Бутусов в 1978 году рассчитал средние периоды обращения планет Солнечной системы и сопоставил их с геометрической прогрессией со знаменателем, равным золотой пропорции. Получилось очень точное соответствие. Найденная закономерность соблюдается с надёжностью 95%, среднее отклонение расчётных данных от фактических составляет всего около 4%.
Из сопоставления всех величин видно, что отношение периодов обращения планет вокруг Солнца равны либо числу Ф, либо Ф2. Частоты обращения планет и их разности образуют спектр, подчинённый золотой пропорции. К. Бутусов пришёл к выводу, что спектр гравитационных и акустических возмущений, создаваемых планетами, представляет собой аккорд, наиболее совершенный с эстетической точки зрения.
Итак, какая же закономерность лежит в основе строения и развития Солнечной системы? Логарифмическая последовательность Чистякова, геометрическая прогрессия со знаменателем, равным золотой пропорции, или что-либо ещё?
Э. Сороко увидел проявление “золотой последовательности” и в другой характеристике планет – периодах их обращения вокруг Солнца. Если исчислять их в земных сутках, они представляют собой следующую последовательность чисел: 88; 224,7; 365,3; 687,1; 4332,4; 10761,7; 306688,8; 60164,9; 90923,2. По мнению Э Сороко, эта последовательность отвечает фрагменту ряда “золотой последовательности”.
Итак, в вопросах закономерностей строения Солнечной системы у нас широкий выбор различных моделей.
Золотое сечение в архитектуре
Парфенон
Строители древности воздвигли замечательные сооружения – от храмов Египта и Греции до костелов Европы и русских церквей, а перед учёными вставал неизменный вопрос: в чём эстетический секрет этих творений, какие каноны гармонии использовали древние мастера?
Великолепные памятники архитектуры оставили нам древние греки. И среди них первое место принадлежит Парфенону.
После победы греков над персами народом овладел дух радости и свободы. В произведениях этого времени (около 480-го года до нашей эры) преобладают чувства величия и радости. Формы художественных произведений отличаются высокой гармоничностью, пластикой, гуманизмом. Воплощением всех этих качеств является храм богини Афины – Парфенон – великолепное сооружение афинского Акрополя.
Для создания Парфенона строители увеличили природный холм в южной его части. Как указывают современные учёные, протяжённость храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном относятся как отрезки золотой пропорции. При взгляде на Парфенон от места расположения фронтонных колонн, отношения массива храма и скалы также соответствуют золотой пропорции. Таким образом, золотая пропорция была использована уже при создании композиции храмов на священном холме.
Размеры Парфенона хорошо изучены, но приводимые замеры не всегда однозначны. Следует учесть, что геометрия архитектуры храма очень непростая – в ней почти отсутствуют прямые линии, поэтому определение размеров затруднено. Известно, что фасад Парфенона вписан в прямоугольник с отношением сторон 1: 2, а план (вид сверху) образует прямоугольник со сторонами 1 и √5, следовательно,
прямоугольник фасада и является исходным в геометрии построения Парфенона.
Ширина Парфенона оценена в 100 греческих футов (3089 см), а размер высоты несколько варьируется в разных источниках. Так, по обобщённым данным, высота Парфенона 61,8, высота трёх ступеней основания и колонны 38,2, высота перекрытия и фронтона 23,6 футов. Указанные размеры образуют ряд золотой пропорции:
100:61,8 = 61,8:38,2 = 38,2:23,6 = Ф.
По мнению И. Шевелева, гармония Парфенона достигается тем, что общая форма и закономерности взаимосвязи частей выражаются одним и тем же отношением 1:√5. По его мнению. Эта пропорция встречается в сооружении неоднократно и является основным связующим звеном архитектурной композиции Парфенона. Этим соотношением связаны высота, шаг и диаметр колонн: из высоты определён шаг, из шага - диаметр колонны.
Очевидно, мы никогда уже не узнаем, какими эстетическими принципами, какой основной руководящей идеей пользовались строители Древней Греции при создании Парфенона. Все описанные выше пропорции – лишь отдельные фрагменты общего плана построения. Но присутствие в композиции Парфенона золотой пропорции в скрытой или явной форме сомнению не подлежит.
Египетские пирамиды
“Всё на свете страшится времени, а время страшится пирамид”, - говорили арабы.
Действительно, эти строения поражают своими гигантскими размерами и совершенством геометрических форм. Недаром эти творения древних строителей относили к одному из семи чудес света.
О египетских пирамидах с восхищением писал греческий историк Геродот. Первым европейцем, спустившимся в глубь пирамиды, был римский учёный Плиний старший. Согласно его описаниям, эти гигантские монолиты имели совсем иной вид, чем в наше время. Они сияли на солнце белой глазурью отполированных известняковых плит на фоне многоколонных прилегающих храмов. Рядом с царскими пирамидами стояли малые пирамиды жён и членов семьи фараонов.
Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида Хуфу. Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. Чего только не находили в её пропорциях. Число п и и золотую пропорцию, число дней в году, расстояние до Солнца, диаметр Земли… Однако при расчете этих величин получались неточности, возникали недоразумения, в результате чего подвергались сомнению даже простейшие пропорции в размерах пирамиды и все сообщения о скрытых в геометрии пирамид сведениях объявлялись досужей выдумкой. В попытках найти сенсационные открытия, многие авторы публикаций забывали о создателях пирамид и их времени и начинали извлекать корни, возводить в степени размеры пирамид, выраженные в метрах и миллиметрах. Произошло то, что позже стали называть пирамидоманией.
Прежде чем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса, следует учесть уровень знаний тех времён, психологию создателей пирамиды. У египтян было три единицы длины: локоть (466
мм), равнявшийся семи ладоням (66,5 мм), которая в свою очередь, равнялась четырём пальцам (16,6 мм).
Рассмотрим размеры пирамиды Хеопса. Длина стороны основания пирамиды принята равной 233,16 метров. Эта величина отвечает 500 локтям. Полное соответствие пятистам локтям будет, если длину локтя считать равной 46,63 мм. Очевидно, размер основания пирамиды при её строительстве и был определён в 5оо локтей.
Высота пирамиды оценивается от 146,6 до 148,2 м. Многие исследователи считают, что высота пирамиды в период её создания была такой же, какой она является в наши дни. Однако это не совсем так.
Строго говоря, данная пирамида является усечённой. Её верхняя площадка в наши дни имеет размер примерно 10x10 метров, а столетие назад она была равна 6x6 метров. Очевидно, вершину пирамиды разобрали, и она не отвечает первоначальной. Одним из чудес пирамиды является очень точная подгонка её каменных блоков и плит, между ними буквально не просунешь лезвия бритвы. А оно составляет лишь 0,1 мм. Это производит огромное впечатление на всех, кто был внутри пирамиды и видел плотно сочленённые громадные плиты.
Но никакого чуда здесь не оказалось. В процессе строительства каменные блоки не могли быть изготовлены столь точно, для этого у древних египтян не могло быть достаточных технических средств. Но за длительное время под воздействием огромного давления, достигающего 500 тонн на 1 квадратный метр нижней поверхности, произошла усадка конструкции, пластическая деформация строительных блоков, вследствие чего они оказались так плотно подогнаны. Надо заметить, что вследствие этого процесса изменялась также и высота пирамиды.
Угол наклона граней пирамиды ещё в 1837 году определил ещё в 1837 году английский полковник Вайз: он равен 51051’. Тангенс этого угла равен 1,27306 и очень близок к корню из золотой пропорции.
Можно предполагать, что основным исходным элементом геометрии пирамиды Хеопса является треугольник в её вертикальном сечении, в котором отношение катетов равно отношению гипотенузы к большему
катету и равно √Ф, а отношение гипотенузы к малому катету равно золотой пропорции Ф. Если обозначить стороны такого треугольника буквами x, y, z, то получим следующее равенство: (z/x)2=1+z/x, а так как отношение z/x в этом треугольнике равно Ф, то получим в итоге простую зависимость Ф2=Ф+1.
Рассмотрим теперь поверхность пирамиды. Она состоит из четырёх треугольников и квадрата основания. Основание треугольника – грани пирамиды - равно 500 локтям, апофема его равна 404,5 локтя. Боковые стороны этого треугольника равны 475,5 локтя. Нетрудно убедиться теперь, что отношение апофемы к половине основания равно 1,618, то есть золотой пропорции.
Таким образом, золотая пропорция присутствует и в величайших творениях древности – пирамидах Египта.
Основные геометрические теоремы, связанные с золотой пропорцией
Золотое сечение отрезка, или деление отрезка в крайнем и среднем отношении
Пусть AB – произвольный отрезок и точка С лежит между точками A и B. Говорят, что эта точка С делит отрезок AB в крайнем и среднем отношении, если выполняется равенство:
AB/AC=AC/CB. Вычислим это отношение. Обозначим AC/CB=x, AC=a. Тогда CB=a/x, AB=a+a/x=a·(1+1/x). Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда (a·(1+1/x))/a = x, то есть 1+1/x=x. Отсюда x2-x-1=0. Это уравнение имеет два корня: (1+√5)/2. Но в геометрической интерпретации смысл имеет лишь один положительный корень. Из этого следует теорема:
Точка заданного отрезка делит его в крайнем и среднем отношении тогда и только тогда, когда отношение большей части отрезка к меньшей его части равно (1+√5)/2.
Число (1+√5)/2 называется золотым сечением и обозначается буквой Ф. Число Ф является иррациональным и его приближённое значение таково:
Ф=1,61803398…
Буква Ф выбрана не случайно – это первая буква имени древнегреческого скульптора Фидия, который в своих скульптурах часто использовал золотую пропорцию.
Золотой прямоугольник
Прямоугольник называют золотым, если отношение его сторон равно числу Ф – золотому сечению.
Свойство золотого прямоугольника.
Золотые прямоугольники широко использовались архитекторами, художниками и скульпторами. Свойство, которым обладает данный прямоугольник, устанавливает теорема: Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат, то оставшийся прямоугольник также является золотым.
Докажем эту теорему.
Пусть ABCD – золотой прямоугольник, ABEF – квадрат. Обозначим AB=a, тогда BC=aФ, BE=EF=a, EC=aФ-a=a(Ф-1). Найдём отношения сторон прямоугольника FECD: EF/EC=a/(a(Ф-1))=1/(Ф-1). Так как Ф является корнем уравнения 1+1/x=x, то Ф-1=1/Ф, откуда Ф=1/(Ф-1). Значит, EF/EC=Ф.
Золотой треугольник
Равнобедренный треугольник называется золотым, если отношение боковой стороны к основанию равно Ф.
Теорема: Биссектриса угла при основании золотого треугольника делит его на два треугольника, один из которых является золотым. Меньший золотой
треугольник является прилежащим к основанию большего золотого треугольника
Золотые треугольники появляются при изучении свойств правильного пятиугольника и его диагоналей.
Пусть около правильного пятиугольника ABCDE описана окружность с центром в точке O. Проведём все диагонали в пятиугольнике. Пусть F и G – точки пересечения диагонали AC соответственно с диагоналями BE и BD. Справедлива следующая теорема:
Отношение длины диагонали правильного пятиугольника к длине его стороны равно золотому сечению Ф. Кроме того, точка F делит каждый из отрезков CA и AG в крайнем и среднем отношении.
Докажем это. 1). В равнобедренном треугольнике ACE угол при вершине C равен ½ (U AE) как вписанный, опирающийся на дугу AE, то есть ∟ACE=½(360°/5)=36°. Поэтому треугольник ACE является золотым, откуда AC/AE=Ф.
2). Проведём прямую OD. Она является осью симметрии правильного пятиугольника ABCDE. Поэтому точка A симметрична точке B, а точка С симметрична точке E относительно OD. Тогда диагонали AC и BE будут также симметричными, и их точка пересечения F принадлежит оси симметрии. В треугольнике CFD имеем:
CDF = ½ (U HC),
∟CFD = ½ (U AH + U CD) = ½ (U HB + U BC) = ½ (U HC) = ∟CDF.
Поэтому треугольник является равнобедренным, откуда CF=FD. Тогда, по доказанному выше, AC/CF = AC/CD = AC/AE = Ф. Согласно теореме о делении отрезка в крайнем и среднем отношении, точка F делит отрезок AC в крайнем и среднем отношении.
3). В треугольнике AFE угол AEF = 36°.
∟AFE = ½ (U AE + U BC) = ½ (U ED + U DC) = ½ (U EC) = ∟FAE.
Поэтому этот треугольник золотой, откуда AG/AF = AE/AF = Ф.
Рассмотрим ломаную линию, составленную из диагоналей пятиугольника – звезду. По вышедоказанной теореме, она обладает замечательным свойством: любой отрезок этой фигуры находится в отношении Ф=(√5 +1)/2 к наименьшему и среднему отрезку. Например, на приведённом слева рисунке:
AF/FG = AG/GC = CF/AF = Ф.
Пифагору было известно свойство этой фигуры. Поэтому пентаграмма (пятилучевая звезда) была символом его пифагорейской школы.
Золотое сечение спирали
Существует интересная связь между золотым сечением и логарифмической спиралью.
Рассмотрим золотой прямоугольник ABCD. “Отрежем” от него квадрат ABFE. Согласно теореме о золотом прямоугольнике, прямоугольник FCDE также является золотым. “Отрежем”
от него квадрат FCHG. Останется золотой прямоугольник EDHG. Если продолжать эту процедуру бесконечно долго, мы получим бесконечное множество вложенных друг в друга золотых прямоугольников.
Отметим по одной вершине в этих прямоугольников и рассмотрим следующую последовательность их вершин: A, F, H, K, L, M, … оказывается, что эти точки лежат на логарифмической спирали и справедлива следующая теорема:
Вершины вложенных золотых прямоугольников лежат на логарифмической спирали с полюсом в точке О пересечения диагоналей BD и EC двух золотых прямоугольников.
Докажем это. 1). Точка G лежит на диагонали BD. Действительно, золотые прямоугольники ABCD и EGHD подобны, поэтому
tg∟GDE = GE/ED = BA/AD = tg∟BDA,
откуда
GDE = ∟BDA, и точка G лежит на BD.
2). Аналогично, диагональ EC проходит через вершину P третьего золотого треугольника. Таким образом, точка О пересечения диагоналей BD и EC является точкой пересечения диагоналей EC и GD, диагоналей GD и EP, и т. д. Для золотого прямоугольника, построенного на n-м шаге, точка О является точкой пересечения его с диагональю (n+1)-го золотого прямоугольника.
3). Прямоугольники ABCD и FCDE подобны, и ∟AOF = ∟FOH как соответственные углы в подобных фигурах. Аналогично:
FON = ∟HOK = ∟LOK = ∟LOM = …
Тогда расстояния AO, OF, OH, OK, OL, OM (…) лежат на логарифмической кривой с полюсом в точке О.
Соцветия многих растений имеют форму логарифмической спирали. На сосновой шишке чешуйки также расположены вдоль спирали. Некоторые пауки закручивают паутину вокруг центра по спирали. Улитки также носят на себе внешний скелет-панцирь, закрученный спиралью. Они выбирают именно логарифмическую, а не, например, архимедову спираль, так как рост тканей этих существ можно описать гомотетическим преобразованием, а при гомотетии логарифмическая спираль поворачивается на некоторый угол. Поэтому улитке не нужно досконально перестраивать своё жилище, и при его увеличении оно само будет последовательно поворачиваться.
Заключение
“Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень…” - писал И. Кеплер.
Этот “драгоценный камень”, являющийся ничем иным, как золотой пропорцией, человек очень хорошо научился использовать для придания своим творениям совершенства.
Золотая пропорция присутствует во многих произведениях искусства, начиная с древнейших времён – в архитектурных конструкциях, музыкальных произведениях, даже в стихах. К сожалению, я описал лишь малую их часть в рамках своей работы.
Я рассмотрел применение золотой пропорции на примере музыкального отрывка, Парфенона и Египетских пирамид. Математика вывела ряд теорем с использованием числа ф. Я также рассмотрел основные из них.
Надеюсь, моя работа дала если не полное, то достаточное представление о “коэффициенте красоты” – золотой пропорции.
Список литературы
1. Геометрия на плоскости. Учебное пособие. Ю С. Татаренко. Минск, 1996.
2. Геометрия масс. Балк М. Б., Болотянский В. Г. М., Наука, 1987
3. Золотая пропорция. Н. Васютинский. М., 1990.
4. История открытий. Энциклопедия. М., Росмэн, 1999
5. Новая геометрия треугольника. Зетель С. И. – М., Учпедгиз.
6. Приложение 1.
Приложение 2.
Чертежи описанных в реферате фигур.
Фигура 1
Прямоугольный треугольник с золотой пропорцией
Фигура 2
“Священный египетский треугольник”
Фигура 3
Треугольник с углами, соответствующими золотой пропорции.
Фигура 4
Арфа
Фигура 5
Деление отрезка в крайнем и среднем отношении
Приложение 3.
Животные, имеющие раковину в форме логарифмической спирали (моллюски и улитки).
